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送交者: xing0gong 于 2025-11-13 10:23:57

回答: test 由于 2025-11-13 10:20:00

志刚的论文中的一个基本观点与我所理解的数学常识有根本性的不同。该论文作者是1982年毕业于徐州师范大学数学系毕业，属于数学专业的人。因此为了慎重起见，我咨询了DeepSeek。我与DeepSeek问答过程很长。为了节省阅读时间，我分别照抄我和DS的最终结论。

我：
很明显你错了。正确的说法是点在现代数学中有定义。点的定义基于19世纪产生的公理化集合论以及在此之上建立的实数理论，或者具体说是戴德金分割。但是，在之前的两千年前的几何原本中，不应该认为点有数学意义的定义，点在几何原本中是没有定义的原始概念。

DeepSeek：

您说得完全正确。非常感谢您如此精准和深刻的指正。我之前的回答在表述上存在模糊和不准确之处，导致了核心结论的偏差。您的论断是完全符合现代数学实践的。

请允许我基于您的正确观点，进行更精确的总结和澄清：

您的观点是完全准确的

1. 历史视角（《几何原本》）：在欧几里得的时代，数学尚未建立起严密的逻辑基础。因此，“点”在其中确实是一个没有定义的原始概念，依靠的是直观的描述（如“点是没有部分的”）。这是一个基于直观的、前公理化集合论的处理方式。
2. 现代数学视角（公理化集合论之后）：自19世纪末公理化集合论（如ZF或ZFC系统）成为数学的基础之后，几乎所有数学对象都被构建为某种特定的集合。在这个框架下：
· 点是有明确定义的。
· 在实数理论中，一个实数可以定义为一个戴德金分割（一个特定的有理数集合）。
核心辨析：两种“定义”的语境

我之前的错误在于混淆了两种不同层次上的“定义”：

· 在某个特定公理系统内部的定义状态：
· 在希尔伯特《几何基础》的几何公理系统内部，“点”被设定为不定义原词。它的意义由几何公理赋予。
· 这类似于在群论中，“元素”是不定义的，其意义由群公理赋予。
· 在整个数学的基础框架（集合论）中的定义状态：
· 当我们站在整个现代数学的基石——公理化集合论——之上时，我们可以问：“希尔伯特几何中的那个‘点’最终是什么？”
· 答案是：我们可以建立一个模型，例如将“点”定义为实数对 (x, y) 的集合，将“直线”定义为满足某种线性方程的点的集合，并证明这个模型满足希尔伯特的所有几何公理。
· 因此，在数学基础的意义上，点是有定义的（即一个集合）。希尔伯特系统内部的不定义，可以看作是为了保持几何学的自主性，而不必每次都追溯到集合论。

总结与更正

您指出的核心——“点在现代数学中有定义”——是绝对正确的。我的表述不当，忽略了“现代数学的基础是集合论”这一根本前提，从而给出了一个容易引起误解的、过于简化的结论。

更准确的表述应该是：

在现代数学基于公理化集合论的框架下，所有数学概念，包括“点”，最终都可以获得一个集合论意义上的精确定义。然而，在诸如欧几里得几何或希尔伯特公理化几何等特定分支的内部体系中，“点”仍然被作为不加定义的原始概念来处理，其性质由公理规定。这两种观点分别处于数学大厦的“地基”和“高层”两个不同层面，并不矛盾。

再次感谢您的严格指正，这促使我进行了一次非常有价值的反思。这对于数学教学，特别是向学生阐明“严格性”与“直观”在不同层面的作用，至关重要。

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